Brauch wieder mathe hilfe :(

[Flunky]

Wenn man draufklickt, wirds hübsch. Im BKZ kann man auch einstellen, dass man nicht extra draufklicken muss.

[Gullix]

...also, ich habe heute gelernt, dass Kugeln in Manhattan-Metrik nicht Umfang 2pi*R haben, sondern 8*R.

[klops]

bittehä?
ein relativistischer Nahtodspezialfall im engeren Bereich der Lichtgeschindigkeit... oder hab ich bloß die Medien-Referenz verpasst?

[Ramkhamhaeng]

Manhattan-Metrik: Heißt so weil man Distanzen zwischen zwei Punkten wie in Straßenzügen in NYC nur horizontal und vertikal zurücklegen kann. Also d(x,y) = |y₁-x₁|+|y₂-x₂| Deswegen ist die Kugel (=Punkte mit dem gleichen Abstand) da ein Quadrat.

RiP π

[Flunky]

2R nach rechts, 2 nach oben, 2 nach links und 2 nach unten. Ist doch logisch

[Ramkhamhaeng]

Btw, ein hoffentlich deutschlandweit bekannter Mathematiker leitet nun die Freie Universität in Berlin: Günter M. Ziegler

[Gullix]

...also, die Manhattan-Metrik hat mir mal ein Freund mit nur drei Worten erklärt: Streets and Avenues.

Nee, die Erkenntnis war eher, dass 8R auch stimmt, wenn der Kreis kein Quadrat ist, sondern irgendwie auf Karopapierlinien etwas, was wie ein Kreis aussieht.

[E-Feld]

Für mich als Nicht-Naturwissenschaftler: gibt es eine Mindestlänge der Wegstücke? Sonst landet man ja doch wieder bei einem Kreis?

[Setcab]

Solange man nur entlang der Koordinatenachse gehen kann, dürfte das im Wesentlichen egal sein (ok, die Wegstücke sollten vermutlich eine Länge ungleich 0 haben). Es ist ja eigentlich egal, ob man z. B. zuerst die Strecke von unten nach oben und dann von links nach rechts komplett zurücklegt oder ob man immer abwechselnd einen Schritt nach oben und einen nach rechts geht.
Beispiel Schachbrett: wenn der Turm von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke will, muss er acht Schritte zur Seite und acht Schritte nach vorne gehen. Egal ob er das auf einmal macht (die Kanten des Bretts entlang) oder in Einzelschritten (der Diagonale entlang).

[Gullix]

Für mich als Nicht-Naturwissenschaftler: gibt es eine Mindestlänge der Wegstücke? Sonst landet man ja doch wieder bei einem Kreis?

...also, nur waagrecht und senkrecht gehen, beliebig kleine Wegstücke sind erlaubt. Siegfried hats erfasst

Wenn man den Rand von einer Fläche entlanggeht, und diagonale Schritte erlaubt, geht das für große Kreise wieder gegen 2pi.


Kollegen benutzen sowas, um bei Simulationen die erzeugten "Formen" irgendwie quantitativ auswerten. Nimmst ein Cluster und gehst am Rand entlang. Wenn der Cluster konvex ist (keine Einbuchtungen nach innen), kommt 8R raus, sonst eine größere Zahl. Sie machen auch noch irgendwas mit der Gaussian Curvature, weiß grad nicht ob das über "Löcher zählen" hinausgeht. Ich finds ja immer nett, wenn so mathematische abstrakte Sachen plötzlich in einem ganz anderen Feld (hier: Schichtwachstum) einen Fortschritt bringen.

[E-Feld]

Beispiel Schachbrett: wenn der Turm von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke will, muss er acht Schritte zur Seite und acht Schritte nach vorne gehen. Egal ob er das auf einmal macht (die Kanten des Bretts entlang) oder in Einzelschritten (der Diagonale entlang).

Verstehe Danke für die Aufklärung, da war ich bei meiner Annahme ja ganz wo anders...

[Ramkhamhaeng]

Hm, die Antworten überzeugen mich noch nicht so. Das Problem ist ja von praktischer Relevanz, wie Gullix Kollegen festgestellt haben… Warum klappt konvergiert eine Größe in irgendeiner Numerischen Approximation nicht wie erwartet…

Für mich als Nicht-Naturwissenschaftler: gibt es eine Mindestlänge der Wegstücke? Sonst landet man ja doch wieder bei einem Kreis?

Es gibt keine Mindestlänge der Wegstücke, was die Aussage auf den ersten Blick so verwirrend macht. Fraktale haben die Angewohnheit unintuitiv zu sein.
Wir reden hier aber wirklich über die Menge, welche als Grenzwert am Ende der unendlich vielen Rechenschritte herauskommt. Häufig nimmt man so eine Approximation vor, bricht nach endlich vielen Schritten ab, und erwartet das eine gewisse Größe hinreichend nahe an der Größe liegt, die man wissen möchte.
Hier wäre das der Kreisumfang und überraschenderweise nähert sich die Größe nicht dem Umfang 2rπ an, sondern bleibt konstant bei 8r.

Hier liegt also ein Beispiel vor bei dem zwei Kurven Kreis/Pseudokreis optisch identisch sind, aber die Länge der Kurven nicht.

Ersteinmal will ich erklären, warum ich gerade zwischen Kreis und einem Pseudokreis unterschieden will. Ob die Kurven identisch sind hängt davon ab, welche „Objekte“ wir als gleich ansehen. Bei der Konstruktion mit der Annäherung durch Quadrate kommen keine Punkte vor, bei der beide Koordinaten irrational sind, da die Ecken ja nur auf rationalen Punkten liegen. Daher könnte man sagen, es sind unterschiedliche Mengen und damit sind nicht gleich.

Andererseits liegen die rationalen Punkte dicht in der Ebene, d.h. ich kann für jeden Punkt P des Kreises und ε>0 einen Punkt im Pseudokreis finden, der weniger als ε von P entfernt ist. Der Abstand der beiden Mengen ist daher Null. Das kann man als eine Art Gleichheit interpretieren, so wie man auch 0,999999… mit 1 gleichsetzt (Das Bild ist etwas schief, aber ich finde es trotzdem gerechtfertigt )

Der zweite Standpunkt ist vermutlich der, der im Kontext der Längenberechnung irreführend ist. Die Länge einer Kurve ist nämlich keine Eigenschaft, die man einer Punktmenge zuordnen kann, sondern eine Eigenschaft einer Kurve(=Funktion). Man dafür aber erst weitere Begriffe definieren. Die Theorie füllt ganze Bücher (Maßtheorie, Riemannsche Geometrie) und am Ende kommt man auf die schöne Formel

Quelle, falls Bild nicht angezeigt
Dabei ist γ eine stückweise differenzierbare Funktion, welche die Kurve, in unserem Fall den Kreis, beschreibt.
Durch die Differenzierbarkeit wird garantiert, dass alle Funktionen, welche die Kurve beschreiben, am Ende die gleiche Länge ergeben.

Der Pseudokreis ist, aufgefasst als Funktion, dagegen keine stückweise differenzierbare Funktion. Man kann ihm trotzdem eine Länge zuordnen, (Approximation mit abgerundeten Varianten aus der Konstruktionvorschrift.)
aber das ist dann halt 8r.

[Flunky]

Wenn ich den Pseudokreis um 45° drehe, ist er doch stückweise differenzierbar Die Steigung in jedem Teilstück ist +1 oder -1.

[Ramkhamhaeng]

Es ging in den letzten Beiträgen nicht mehr um den „diamantenförmigen“ Kreis bei der Manhattan-Metrik sondern um ein (problematisches) Verfahren zur Approximation des Kreisumfangs.
Stelle dir ein Gitter Q₁, dass aus einem Quadrat besteht, vor, welches den Einheitskreis bündig umschließt (=> Umfang U=8).
Das Gitter vierteln wir jetzt mal in beiden Dimensionen und es entstehen 16 Quadrate. Entlang deren Kanten können wir nun den Kreis näher umlaufen. Setzen wir den Prozess fort, nähern wir uns dem Kreis beliebig weit an.
Am Ende entsteht ein Fraktal und da der Umfang in jedem Schritt der gleiche bleibt muss auch das finale Gebilde die Länge 8, wenn man es so nennen will, besitzen.
Das Ding hat dann aber unendlich viele Knicke, die außerdem dicht liegen. Da ist also nirgends Differenzierbarkeit vorhanden.

[Flunky]

Gut, die Stücke sind ein bissl klein. Ich dachte, du schließt auf die Nichtdifferenzierbarkeit, weil jedes zweite Stück senkrecht liegt.

Wie ist eigentlich der genäherte Umfang, wenn die Eckpunkte innerhalb der Kreismenge gewählt werden? Also so, dass der Einheitskreis unser Fraktal bündig umschließt Das eingeschriebene Quadrat hat ja U = 4*sqrt(2)*R.