Brauch wieder mathe hilfe :(

[nordstern]

Ic hab ne Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung... da ich das im Abi Leistungskurs hatte und nicht weis, ist es vermutlich etwas kniffliger oder ich habs die letzten Jahre einfach vergessen...

Ich habe eine Normalverteilung bei der jeder Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit hat aufzutreten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das nach X "Würfen" der Durchschnitt um Y% unter dem arithmetischen Mittel liegt?

Beispiel:
0-6 -> arithmethisches Mittel ist 3
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel aller "Würfe" (beliebige Zahl einsetzbar) unter 2 ist.

Die Schwierigkeit daran ist ja, das man kein Würfelergebnis ausschließen kann, da alle auftreten können. Es ändert sich nur die Wahrscheinlichkeit mit der sie auftreten. Es darf also z.b. durchaus ne 6 auftreten, dafür müssen dann aber mindestens soviele kleinere Würfe kommen, das der Durchschnitt auf min. 2 sinkt.

Ich hab etwas gegoogelt aber nichts gefunden. Scheint also etwas schwerer zu sein...

Danke für eure Hilfe.

[Flunky]

Das Thema heißt Konfidenzinterval, wenn du weiter googlen willst

Bei einer Normalverteilung hat nicht jeder Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit aufzutreten. Was du suchst ist eine diskrete Gleichverteilung, wie sie beim Würfel auftritt. Da ist das arithmetische Mittel übrigens nicht 3 sondern 3,5 und wird in dem Zusammenhang üblicherweise Erwartungswert genannt. Die Varianz vom Würfel (brauchen wir auch noch) ist [math]\frac{n^2-1}{12}[/math] .

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion vieler Würfe nähert sich der Normalverteilung an. Tatsächlich handelt es sich um eine n-fache Faltung. Für den klassischen Würfel ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion:
1/6 für x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
0 sonst

Bei zwei Würfen ist es
(x-1)/36 für x = 2..7
(13-x)/36 für x = 7..12
0 sonst

für höhere Ordnungen würd ich mir ein Skript schreiben und so ab n=12 zu den Quantilen der Normalverteilung übergehen^^

[EpicFail]

Wenn ich ein Lagrange Optimierungsproblem habe und ich verlangen will, dass zb x_i>= 0 ist, kann ich das dann überhaupt einbauen?

Weil ich hätte dann ja sowas wie

L = f(x) + k * x_i

Und da bilde ich ja dann den Gradienten nach x und nach k und setze das null, dann hätte ich aber ja direkt

x_i = 0, und das ist ja sicher nicht immer 'optimal' oder sinnvoll.

[Ramkhamhaeng]

Bei der auf https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator verwendeten Notation entspricht dein Beispiel
g(x) = x_i und c = 0 (wobei dein Vektor x dort (x,y) wäre).

Wenn man sich nun überlegt dass g(x)=c die Nebenbedingung beschreibt, welche für die zulässigen Lösungen einschränkt, sieht man dass deine Funktion gerade der Untervektorraum ist mit x_i = 0.
Das erklärt dann auch sofort warum man beim Nullsetzen des Gradienten das wieder als Bedinung an das x_i heraus bekommt

Fazit wäre dass deine Funktion nicht geeignet ist um x_i >= 0 zu kodieren (sondern x_i=0...). Muss erst mal selber überlegen wie eine bessere Funktion g aussehen könnte, aber wollte schon mal antworten

[Ramkhamhaeng]

Hm, mit diesen Nichtlatex-Formeln vom Math-Tag komme ich nicht zurecht. :-(
Also was man braucht ist eine differenzierbare Funktion die bei nichtnegativen x_i Null ergibt und sonst nicht.

Da müsste ein g(x) = { x_i^2, falls x_i < 0 und 0 sonst
eigentlich ausreichen

[EpicFail]

Also ja auf so eine Idee bin ich nach deinem Hinweis tatsächlich auch gekommen. Nur funktionieren tut das dann auch nicht so ganz oder?

Also dann hätte ich ja

L = f(x) +k * g(x)

und das nach k abgeleitet ergäbe dann

x_i^2 = 0 für x_i <0 und 0 = 0 sonst. Also null kommt trotzdem immer raus.

[Ramkhamhaeng]

Naja, es bleibt beim Ableiten nach k gerade g(x) übrig. Das ist nur auf dem Halbraum null.

[Ramkhamhaeng]

Oder meinst du das Problem, dass dg/dx null ist? Das ist in der Tat ein Problem weil die Nebenbedingung im gesuchten Extrempunkt von f nicht verschwinden darf.

Ich habe schon die ganze Zeit überlegt was mich daran stört den Lagrange-Ansatz auf eine Nebenbedingung anzuwenden, wo der Raum „keine Dimension verliert“.
Sollst du bei der Aufgabe den Ansatz verwenden oder kannst du das auch anders probieren? Geht es nur um lineare Optimierungsprobleme?

Punkte, bei denen der Gradient der Lagrange-Funktion oder der Nebenbedingung g {\displaystyle g} g verschwindet, werden auch kritische Punkte der Lagrange-Funktion genannt. Letztere werden hinzugezogen, weil das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren über sie keine Aussage treffen kann und sie daher als Kandidaten für Extremstellen in Betracht kommen. Da im Allgemeinen nicht jeder kritische Punkt der Lagrange-Funktion das ursprüngliche Optimierungsproblem löst, liefert dieses Verfahren nur eine notwendige Bedingung für die Lösung des Optimierungsproblems.

[EpicFail]

Naja, es bleibt beim Ableiten nach k gerade g(x) übrig. Das ist nur auf dem Halbraum null.

Ah ja, ich glaube ich habe da gerade nur etwas verwechselt. Ich schaue mir das am Wochenende nochmal an, ist ja auch schon ein Jahr her, dass ich das das letzte mal hatte.

Was ich aber noch nicht so ganz verstehe ist, warum man jetzt dein g hier verwenden kann. Also ich will ja erreichen, dass x_i >= 0 ist. Für den Fall, dass es kleiner null ist, ist jetzt hier ja nur g größer null, nicht aber das x. Oder muss ich für x_i >= 0 nur ein g formulieren, für das g(x) >= 0 gilt und halt auch 'passend' ist?

[EpicFail]

Oder meinst du das Problem, dass dg/dx null ist? Das ist in der Tat ein Problem weil die Nebenbedingung im gesuchten Extrempunkt von f nicht verschwinden darf.

Ich habe schon die ganze Zeit überlegt was mich daran stört den Lagrange-Ansatz auf eine Nebenbedingung anzuwenden, wo der Raum „keine Dimension verliert“.
Sollst du bei der Aufgabe den Ansatz verwenden oder kannst du das auch anders probieren? Geht es nur um lineare Optimierungsprobleme?

Also dg/dx wäre ja nur abhängig von der gewählten Funktion null. Also in meinem ursprünglichen Fall wäre das ja so gewesen.
Und ja ich soll das über Lagrange machen, ich weiß aber nicht, ob ich diese Bedingungen überhaupt brauche. Es geht darum, die Entropie von ich glaube 5 Zufallsvariablen zu maximieren. Da Wahrscheinlichkeiten natürlich nicht kleiner null sein können, dachte ich, das wäre natürlich eine sinnvolle NB.

[Flunky]

Dann tu doch mal die eigentliche Aufgabe

[EpicFail]

Also ja hatte ich auch noch vor, ich frage ja unter anderem auch aus Eigeninteresse

[Ramkhamhaeng]

Dann tu doch mal die eigentliche Aufgabe

+1.

Es muss auch gute Gründe geben ein Problem nochmal umzuformlieren, wenn die Nebenbedingung schon so günstig wie "variable >=0“ ausgedrückt ist. Statt Lagrange-Ansatzt bietet sich bei Problemen mit Ungleichungen als Nebenbedinungen auch eher eine Verallgemeinerung, die KKT-Bedinungen an. Aber glaube das würde hier zu weit in die Gefilde der Optimierung führen

[nordstern]

was bedeutet frac in der Formel? Wird ja nicht als Symbol angezeigt... :/

Danke für deine rasche Hilfe. Ich schau mir das mal an.

[EpicFail]

Also da steht (n^2 - 1)/12, das frac ist also der Bruchoperator in Latex/hier in der Math Umgebung.