Brauch wieder mathe hilfe :(

[EpicFail]

Also ich hab folgende DGL gegeben:

y'' + y = r * sin(x), für r aus den reellen Zahlen. Als RB habe ich dann noch y(0)=0 und y(pi) = 1. Ich soll jetzt herausfinden, für welche r das Problem lösbar ist.

Die homogene Lösung ist ja recht einfach bestimmbar mit y = c * cos(x) + d* sin(x). Das Problem ist jetzt aber die Partikulärlösung, normalerweise würde ich ja hier auch einfach den Ansatz yp = e * cos(x) + f* sin(x) machen, aber da kommt dann natürlich null raus, wenn man das in die DGL einsetzt. Und für r = 0 ist das Problem nicht lösbar. Will ich das ganze auf die herkömmliche Art und Weise lösen brauche ich ein paar Additionstheoreme denke ich, weil man dann irgendwelche hässlichen cos/sin Brüche integrieren darf. Also was ist hier des Rätsels Lösung? Laut wolframalpha ist die Partikulärlösung yp = -1/2 * r * x * cos(x), aber keine Ahnung wie die da drauf kommen

[Ramkhamhaeng]

Ersteinmal ist festzuhalten, dass die Aufgabe damit schon mal komplett gelöst ist. Eine Partikulärlösung plus die Homogenen Lösungen ist ja schon der gesamte Lösungsraum. Nur bei r=0 muss ich widersprechen. Da ist das Problem nicht nicht lösbar, sondern der homogene Fall.

Wie kommt man nun auf die Partikulärlösung? Im Allgemeinen probieren
Hier im speziellen hast du halt zwei Teilfunktionen, x, und cos(x), die durch die Produktregel beim zweimaligen Ableiten drei Fälle ergeben. (Im Prinzip wie bei den binomischen Formeln…)
Zweimaliges Ableiten des linearen Terms ergibt Null, zweimaliges Ableiten von cos(x) kürzt sich mit der Ausgangsfunktion.
Der mittige Teil bleibt übrig und da kommt die -1/2 zum tragen.

Diesen Ansatz kann man sich vielleicht als "Polynom * Trigonometrische Funktion" merken.

[EpicFail]

Hm also raten war natürlich jetzt nicht unbedingt das was ich hören wollte

Ich dachte diese 'Ansatzmethode' wäre fehlerlos und eindeutig. Zumindest wurde uns nie gesagt, dass man damit nicht immer auf die richtige Lösung kommt. Naja, danke auf jeden Fall schonmal

[Ramkhamhaeng]

Stimmt, da muss ich zugeben, dass ich mich geirrt habe. Der Ansatz sollte immer eine Lösung liefern, wobei sie nicht in allen Fällen geschlossen dargestellt werden kann. (Falls die rechte Seite der DGL nicht integrierbar ist.)

Das Problem ist jetzt aber die Partikulärlösung, normalerweise würde ich ja hier auch einfach den Ansatz yp = e * cos(x) + f* sin(x) machen, aber da kommt dann natürlich null raus, wenn man das in die DGL einsetzt.

Ah, da versteckt sich ein Denkfehler. Bei dem Ansatz (Variation der Konstanten) geht man nicht von Konstanten aus sondern betrachtet diese als von x abhängige Funktion. Es müsste also eher so aussehen:
yp = e(x) * cos(x) + f(x) * sin(x)

Beim Ableiten bleiben die Terme dann bestehen. Betrachtet man dann yp'' + y erhält man
r*sin(x) = yp'' + y = e''(x)sin(x) + d''(x)cos(x) + 2e'(x)cos(x) - 2f'(x)sin(x)

Der Koeffizentenvergleich ergibt dann, dass man e(x) am besten ganz auf Null setzt und für f ergibt sich
f''(x) = 0, -2f'(x) = r

Das kann man bei irgendeiner anderen Funktion, statt r*sin(x), im Allgemeinen nicht machen! Hier führt es aber zu obiger einfachen Integration, welche zu f(x) = -1/2 * r * x führt.

[EpicFail]

Also danke
Was mich jetzt aber verwirrt oder verunsichert: Manchmal funktioniert es ja auch, wenn man e und f eben als konstant ansieht. Gibt es da irgendeine Regel die mir sagt, wann das wie ist? Weil so ist es natürlich schon ein wenig aufwändiger
Bzw. ist dein letzter Satz nicht so zu verstehen, dass diese Methode keine Verallgemeinerung der Methode ist, in der man e und f als Konstanten hat?

[Flunky]

Die Methode, bei der du erst eine homogene Lösung suchst und dann - um eine Partikulärlösung zu finden - deren Konstanten umbenennst, heißt Variation der Konstanten. Da musst du immer alle Konstanten der homogenen Lösungen durch Funktionen in x ersetzen.
yh = c * cos(x) + d * sin(x) ergibt dann eben yp = e(x) * cos(x) + f(x) * sin(x) als Ansatz. Ob e und f letztlich Konstanten sind, lässt sich nur durchs ausrechnen herausfinden.

[Cr4ck]

Das kann man bei irgendeiner anderen Funktion, statt r*sin(x), im Allgemeinen nicht machen! Hier führt es aber zu obiger einfachen Integration, welche zu f(x) = -1/2 * r * x führt.

Hast du ein Beispiel, wann Variation der Konstanten explizit nicht geht? Ich hatte schonmal versucht, lineare DGLs zweiten Grades damit zu lösen, wo ich ja eigentlich 2 mal variieren muss, aber am Ende hatte sich nichts weggekürzt und ich kam nicht voran; ich habe wohl offensichtlicherweise eine Fehler gemacht gehabt?

[Ramkhamhaeng]

Hast du ein Beispiel, wann Variation der Konstanten explizit nicht geht? Ich hatte schonmal versucht, lineare DGLs zweiten Grades damit zu lösen, wo ich ja eigentlich 2 mal variieren muss, aber am Ende hatte sich nichts weggekürzt und ich kam nicht voran; ich habe wohl offensichtlicherweise eine Fehler gemacht gehabt?

Hm, reicht dir auch ein Beispiel einer leicht anderen Aussage? Ich gebe dir mal ein Beispiel bei der ganz allgemein keine explizite Lösung angegeben werden kann.
Ob die dann äquivalent zu deiner Frage, ob mit der Methode der Variation der Konstanten keine explizite Lösung ermittelt werden kann, hängt davon ab wie man die Variation der Konstanten genau definiert.



Nach Picard-Lindelöf ist die Lösung einer DGL eindeutig und der Satz liefert auch gleich die passende Konstruktionsvorschrift für die Lösung mit
(In der dortigen Formulierung y(x) = y0 + \int_0^x F(s,y(s)) ds )

Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die nicht elementar integrierbar sind, d.h. ihre Stammfunktion ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar. Häufiges Beispiel ist Si(x)

Wenn ich also F(x,y) = Si(x) F(x,y) = sin(x)/x wähle, kann ich es ganz allgemein nicht explizit darstellen. Insbesondere auch nicht mit der Variation der Konstanten


Edit: Obiges ist ein Beispiel für eine DGL ersten Grades. Für dein gewünschtes Beispiel müsste man dann zwei lineare kombinieren. (Obige Darstellung der Lösung von y geht analog im R^n. Da müsste man dann die Substitution y_2' = y_1 wieder rückgängig machen, um ein Beispiel für eine DGL zweiter Ordnung zu erhalten.)

[EpicFail]

Ob e und f letztlich Konstanten sind, lässt sich nur durchs ausrechnen herausfinden.

Gut, das wollte ich wissen In unserem Skript steht nämlich nicht dabei, dass die auch von x abhängig sein können.

[Cr4ck]

Hm, reicht dir auch ein Beispiel einer leicht anderen Aussage? Ich gebe dir mal ein Beispiel bei der ganz allgemein keine explizite Lösung angegeben werden kann.
Ob die dann äquivalent zu deiner Frage, ob mit der Methode der Variation der Konstanten keine explizite Lösung ermittelt werden kann, hängt davon ab wie man die Variation der Konstanten genau definiert.



Nach Picard-Lindelöf ist die Lösung einer DGL eindeutig und der Satz liefert auch gleich die passende Konstruktionsvorschrift für die Lösung mit
(In der dortigen Formulierung y(x) = y0 + \int_0^x F(s,y(s)) ds )

Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die nicht elementar integrierbar sind, d.h. ihre Stammfunktion ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar. Häufiges Beispiel ist Si(x)

Wenn ich also F(x,y) = Si(x) F(x,y) = sin(x)/x wähle, kann ich es ganz allgemein nicht explizit darstellen. Insbesondere auch nicht mit der Variation der Konstanten


Edit: Obiges ist ein Beispiel für eine DGL ersten Grades. Für dein gewünschtes Beispiel müsste man dann zwei lineare kombinieren. (Obige Darstellung der Lösung von y geht analog im R^n. Da müsste man dann die Substitution y_2' = y_1 wieder rückgängig machen, um ein Beispiel für eine DGL zweiter Ordnung zu erhalten.)

Das hilft mir ein wenig; allerdings bin ich noch nicht so weit, den Satz zu verstehen. Ich werde aber auch keine Analysis 2/3 hören. Ana1 dieses Semester war nicht gerade erfolgreich, und als Wahlfach ist es mir den Aufwand nicht wert, das nochmal zu machen. Da nehm ich lieber den weniger mathematischen Physikerkurs. Das Beispiel, das du da gebracht hast, ist einleuchtend

[EpicFail]

Also mal wieder eine etwas 'blödere' Frage:

Folgende Funktion:

f(x) = [math]1/2 * x^{T} * M * x[/math]

mit x Vektor und M Matrix.

Der Prof hat das jetzt nach x abgelitten und hatte dann

f' = H * x da stehen. Er hat die Zwischenschritte weg gelassen und ich vermute ich habe entweder etwas nicht verstanden oder mitbekommen.

Eigentlich müsste man doch Produktregel machen oder und das funktioniert auch nur hier so, weil die Gradienten scheinbar konstant 1 sind? Dann hätte man nämlich sowas da stehen von wegen:

f' = [math]1/2 * M * x + 1/2 * x^{T} * M[/math] .

Und das wurde dann einfach zusammengefasst?
Oder ist mein Ansatz ganz falsch?

[Gullix]

...also, ist M vielleicht symmetrisch? Dann kannste (AB)t = Bt At benutzen und es stimmt.

[EpicFail]

Ah

Also ja M ist eine Hesse Matrix. Danke

[Strat]

Wenn ich eine Relation nur explizit und nicht implizit vorliegen habe(d.h. nur eine Liste von Paaren) wie zeigt man, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt ?

Reflexiv weiß ich, da die Diagonalrelation eine Teilmenge ist, aber den Rest sehe ich zwar, kann ihn aber nicht formal zeigen.

Relation sähe so aus [math]\Delta_a \cup \{((0,2),(1,3),(1,5),(2,0),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)\}[/math] und die Menge A = {0,1,2,3,4,5}

[Ramkhamhaeng]

Bei einer Liste von Paaren bleibt einem nichts anderes übrig als die einzelnen Eigenschaften abzuklopfen, wenn man sonst nichts über die Struktur der Liste weiß.

• Reflexivität: Durch die Definition mit dem Δ_A gegeben.
• Die Symmetrie kannst du ja fast genauso leicht wie die Reflexivität testen.
• Transitivität: Entweder du machst einen Schritt der Berechnung der Transitiven Hülle und erkennst, dass sich die Relationsmenge nicht ändert (d.h. die Menge entspricht ihrer transitven Hülle) oder du gehst per Hand die einzelnen Elemente durch, d.h.
Du nimmst alle Paare (a,b) und (b,c) und guckst ob (a,c) enthalten ist.
Wegen der zwei anderen schon bewiesenen Eigenschaften kannst du dich dabei auf Elemente mit a<b einschränken.