Brauch wieder mathe hilfe :(

[EpicFail]

...also, ja, damit kommt man ans Ziel. Die f(x) heben sich auf, der Term h² fällt weg (weil h²/h -> 0 geht), der Mischterm ist das was am Ende fürs Ergebnis sorgt.

Glatt, weiß nicht, ob sie es schon benutzen dürfen. Jacobi-Matrix mal (normierte) Richtung gibt die Richtungsableitung iirc.

Also 'glatte' Funktionen hatten wir auch schon


Ich hab es doch jetzt schon mal kurz versucht und also zuerst den Gradienten gebildet, der wäre ja hier

[math]1 /(2sqrt( (\sum_{i=1}^m x^2)) )[/math] * [2x_i]

Dann ist da jeder Eintrag offensichtlich stetig, das heißt, der Gradient bildet auch gleichzeitig die totale Ableitung und Df(x) ist gleich der Jacobi Matrix/dem Gradient, wobei für die Ableitung dann in Richtung v J_f(x) * v ist und dass dann zusammengefasst [math]1 / (2sqrt((\sum_{i=1}^m x^2) ))[/math] * [math]\sum_{i=1}^m[/math] 2x_iv_i gibt, und dann final zusammengefasst [math]\sum_{i=1}^m (x*v) / (<x,x>)[/math] (natürlich mit Indexen, aber die Tiefstellung funktioniert im Math Code nicht und ich bin zu faul nachzuschauen wie das in Latex geht ). (edit die Summe ist natürlich nur oben, aber dafür bin ich jetzt zu faul, wobei die Summe oben sich auch durch <x,v> ersetzen und unten muss noch die Wurzel hin)

Das ist übrigens auch das, was raus kommt, wenn ich es wie ganz am Anfang 'einfach mal ausrechne', aber ich vermute es schadet nicht, auch mal den komplizierten Weg zu kennen

[Piruparka]

Kann ich euch Genies mal bemühen? Wir haben einen Teich, der etwa ellipsoid ist. Quermaß a ist 3m, Quermaß b 2m. Wir wollen ihn trockenlegen. Der Teich verläuft nach unten hinten wie ein Kegel, also spitz zu. Er war ungefähr 2m tief, ist aber bereits bis auf 0,75m über dem Erdboden gefüllt. Wie viel Sand benötigen wir, um ihn ganz aufzufüllen?

Gedanken: Ich behandle die Ellipse der Einfachheit halber wie einen Kreis mit r = 1/2*(a+b)/2, also 1,25m.

Nach π*r² = ca. 4,9m². Das wäre die Grundfläche G.

Formel für Volumen eines Kegels ist 1/3*G*h, wobei h die Höhe ist, in meinem Fall also vereinfacht 0,75m (wobei der Kegel ja letztlich nicht spitz zu läuft, da ja bereits die unteren 1,25m gefüllt sind).

Das wäre dann: 1/3*4,9m²*0,75m = 1,25m³.

Das kommt mir etwas wenig vor. Habe ich einen Denkfehler? Hilfe!

[Flunky]

Kegelstumpf:

Resthöhe: h = 0.75
gefüllte Höhe: k = 1.25
großer Radius: R = 1.25

Strahlensatz für
kleiner Radius: r = R*k/(h+k)
Volumen: V = h*pi/3*(R^2+r*R+r^2)
= h*pi/3*R^2*(1+k/(h+k)+k^2/(h+k)^2)
= 0.75*pi/3*1.25^2*(1+1.25/2+1.25^2/4)
~ 2.5

[Piruparka]

Vielen Dank.

Wow, das ist ja mal eben doppelt so viel. Wo war mein (größter) Fehler?

[Flunky]

Einen Kegelstumpf als Kegel anzunähern. Dein Loch läuft ja nicht so spitz zu, sondern eher wenig.

[EpicFail]

Also mal ne Frage zur Korrektheit meines kleinen Stetigkeitsbeweises:

Ich habe die Funktion [math]y^3 / (x^2 +y^2)[/math] für R²\0 und 0 für 0. In mehrdimensionalen Räumen haben wir jetzt nur Folgenstetigkeit betrachtet, wenn ich jetzt also die Stetigkeit in 0 zeigen will, nehme ich mir die Folge a_n = [b_n, c_n]^T wobei a natürlich gegen 0 konvergiert.
Dann war meine Idee, dass ich, wenn ich b und c in die Funktion einsetzte ich 0<= f <= 0 zeigen will, weil damit ja f gegen null ginge und stetig wäre.
Ich habe dann (das ist eigentlich auch der einzige Schritt wo ich mir bzgl. Korrektheit nicht so ganz sicher bin) obdA angenommen, dass [math]abs(c) <= abs(b)[/math] ab einem gewissen n ist.
Dann eingesetzt ergibt sich ja dann

[math]lim_{n\to\infty} c^3 / (b^2 +c^2) <= lim_{n\to\infty} c^3 / (2c^2) <= lim_{n\to\infty} c = 0[/math] und
[math]lim_{n\to\infty} c^3 / (b^2 +c^2) >= lim_{n\to\infty} c^3 / (2b^2) = lim_{n\to\infty} 6b/4 [/math] (2 mal l'hospital)= 0

L'hospital dürfte man ja auch einfach auf allgemeine Folgen anwenden dürfen oder?

[alpha civ]

Du kannst doch nichts für die Folge a voraussetzen.

[Ramkhamhaeng]

Stetigkeit ist doch bezüglich einer Norm (oder allgemeiner bezüglich einer Metrik) definiert. Damit erledigt sich die Frage, wie das im ℝ² definiert ist, weil die Definition universal ist.

Ja, du kannst die (äquivalente) Definition mit der Folgenstetigkeit für den Beweis verwenden, aber deine Einschränkung bzgl. a_n und b_n kannst du nicht machen.
1. Damit verletzt du fundamental die Voraussetzung, dass es für alle Folgen a_n gelten soll.
2. Ist die Funktion auch nicht stetig in Null.

Um die Nichtstetigkeit zu beweisen reicht dann nat. widerum die Definition einer Folge, die nicht konvergiert.
Jetzt musst du nur noch eine finden

[Flunky]

Sicher, dass die nicht stetig ist? Sieht eigentlich ganz gut aus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%5E2%2By%5E2)

€: schau mal [math](1/n^2, 1/n)[/math] an

[Ramkhamhaeng]

Sicher, dass die nicht stetig ist? Sieht eigentlich ganz gut aus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%5E2%2By%5E2)

Divergiert für a_n = (1/n², 1/n)
Da x nicht im Zähler auftaucht kann man auch für andere Expontenten von x und y solche Folgen finden.


Edit: Wobei ich mich an einen Satz erinnert kann, der Bezug auf die Summe der Exponenten nimmt

[EpicFail]

Stetigkeit ist doch bezüglich einer Norm (oder allgemeiner bezüglich einer Metrik) definiert. Damit erledigt sich die Frage, wie das im ℝ² definiert ist, weil die Definition universal ist.

Ja, du kannst die (äquivalente) Definition mit der Folgenstetigkeit für den Beweis verwenden, aber deine Einschränkung bzgl. a_n und b_n kannst du nicht machen.
1. Damit verletzt du fundamental die Voraussetzung, dass es für alle Folgen a_n gelten soll.
2. Ist die Funktion auch nicht stetig in Null.

Um die Nichtstetigkeit zu beweisen reicht dann nat. widerum die Definition einer Folge, die nicht konvergiert.
Jetzt musst du nur noch eine finden

Also das ist natürlich blöd, weil die Aufgabe war, dass man zeigen soll, dass die Funktion stetig ist

Dann frag ich da nochmal meinen Übungsleiter.

[Flunky]

Divergiert für a_n = (1/n², 1/n)

Jo, hab ich dann ja auch gefunden^^

[Gigaz]

Also ich weiß nicht was ihr rechnet, aber wenn ich in f(x,y)=y^3/(x^2+y^2) die Folge (1/N^2, 1/N) einsetze, dann geht f gegen Null für N gegen unendlich.

[Ramkhamhaeng]

Jo, hab ich dann ja auch gefunden^^

Ne, ich habe dich erfolgreich auf die falsche Fährte gebracht?! Glaube ich muss mich da korrigieren. Man kann es doch folgendermaßen abschätzen?!
Sei y>0
y³/(x²+y²) = 1/ (x²/y³ + 1/y) <= 1/(0 + 1/y) = y

Und für y<0 erhält man eine Abschätzung nach unten.
Für den Betrag der Funktion erhält man also |f(x,y)| < |y| und damit für alle Folgen mit y_n -> 0 die Konvergenz.

[Flunky]

^2 übersehen.

[math](1/n^2, 1/n)[/math] ergibt ja [math]n/(1+n^2)[/math]