Essay - Das Centauri Monopol - Eigenschaften des ICS

[Hagen0]

Untere Schranke:

Nimm eine Basis im Nullpunkt und baue 2 Kolos, schicke eine 2 Felder nach Norden und eine 2 Felder nach Osten. Als nächstes haben wir 3 Basen. Jetzt baut jede Basis 2 Kolos und schickt eine 2 Felder nördlich und eine 2 Felder östlich. Wir haben 6 Basen. Wiederhole diesen Schritt beliebig oft. Überschüssige Kolos werden aufgelöst. (Es würde natürlich reichen, wenn nur die Basen am Nordostrand Kolos bauen).

Anzahl der Basen nach n Schritten:

W_{2n}=n*(n+1)/2.

Die Definition für exponentielles Wachstum, die ich oben angegeben habe ist eigentlich Unsinn. Exponentielles Wachstum heißt, es gibt Konstanten C1, C2 > 0, so dass

C1*exp(t) < W(t) < C2*exp(t).

Die Funktion exp(alpha*t) wächst halt immernoch schneller als jedes Polynom egal wie klein alpha>0 ist. Deshalb habe ich sie exponentiell genannt.

[Gullix]

...also, neue These: Man wächst quadratisch. Mit dem Ereigniskegel wird quadratisch Land erreichbar, weil man ja diagonal oder gerade ziehen kann. Außerdem haben die Kolos endliche Baukosten und man produziert (genähert) proportional zu den bereits produzierten Kolos. OK, letzteres wäre ein Argument für exponentiell

[ComCitCat]

Außerdem haben die Kolos endliche Baukosten und man produziert (genähert) proportional zu den bereits produzierten Kolos.

Genau da liegt der Hase im Pfeffer. Das tut man eben zumeißt nicht. Das Problem ist, dass die Kolos erstmal auf die Reise gehen. Es gibt also Kolos zu deren Zahl man proportional neue Kolos produziert (die, die schon eine Basis errichtet haben) und solche, die sich irgendwo auf dem Weg zu einem neuen Basisstandort befinden (und dementsprechend Null Produktion liefern). Leider wird der Anteil der letzteren dramatisch größer, so dass man mit fortschreitender Zeit die Produktion neuer Kolos immer schlechter proportional zur Anzahl der bereits errichteten Kolos nähern kann.

Dieses Anwachsen der "Kolos auf dem Weg" verwandelt unser schönes exp(t) in eine schnödes t²...

[ComCitCat]

Untere Schranke:

Nimm eine Basis im Nullpunkt und baue 2 Kolos, schicke eine 2 Felder nach Norden und eine 2 Felder nach Osten. Als nächstes haben wir 3 Basen. Jetzt baut jede Basis 2 Kolos und schickt eine 2 Felder nördlich und eine 2 Felder östlich. Wir haben 6 Basen. Wiederhole diesen Schritt beliebig oft. Überschüssige Kolos werden aufgelöst. (Es würde natürlich reichen, wenn nur die Basen am Nordostrand Kolos bauen).

Anzahl der Basen nach n Schritten:

W_{2n}=n*(n+1)/2.

Ah, wir lassen also nur den Rand Kolos produzieren. Das ist sauber, weil es dafür sorgt, dass die Länge des Weges den ein Kolo zurücklegen muss konstant bleibt. Ich glaube, diese Herangehensweise sollte man sich merken.

Die Definition für exponentielles Wachstum, die ich oben angegeben habe ist eigentlich Unsinn. Exponentielles Wachstum heißt, es gibt Konstanten C1, C2 > 0, so dass

C1*exp(t) < W(t) < C2*exp(t).

Die Funktion exp(alpha*t) wächst halt immernoch schneller als jedes Polynom egal wie klein alpha>0 ist. Deshalb habe ich sie exponentiell genannt.

Ich muss ehrlich sagen, dass mir diese Definition schlechter erscheint. Sie ist nicht prinzipiell falsch, aber man muss nochmal extra über t diskutieren. Hier hängt nämlich die Erfüllung der Defintion vom Zeitmaß ab.

Im Klartext: Wenn ich die Definition simpel lese, dann bedeutet dass, dass ich ab einem Zeitpunkt t_x(i) in der Lage sein muss, jede Runde (!) 2,71828 mal so viele Kolos herrauszuhauen, wie die Runde davor (alles vor so einem endlichen Zeitpunkt t_x(i) kann ich über C1 und C2 regeln).
Unsere Spezifikationen erlauben aber keinen größeren Faktor als 2,0 von einer Runde auf die andere, und selbst der ist utopisch.

Um also ein exponentielles Wachstum zu bekommen müssten wir ein Zeitmaß T(t) = m * t [ + t(0) ??] substituieren, das in die Gleichung passt. Sobald man das tut taucht mit "m" gleich wieder ein Alpha im Exponenten auf.

C1*exp(T) < W(T) < C2*exp(T) ist erfüllt -> W(T) wächst exponentiell
-> C1*exp(m*t) < W'(t) [= W(m*t)] < C2*exp(m*t)
Da steht doch mit m wieder ein alpha drin...

Dann arbeite ich lieber gleich mit alphas und mache mich unabhängig vom konkreten Zeitmaß - denn es gäbe nur ein einziges für das die Definition erfüllbar wäre. Trotz der Änderungen ist diese Definition immer noch strenger, denn obere und untere Schranke müssen die selben Alphas benutzen. Intuitiv erscheint mir dieser Unterschied so groß, wie der Sprung von abzählbar unendlich auf nichtabzählbar unendlich. Also sowas wie Tag und Nacht.

Um das für unser Beispiel anzuwenden:
Das maximum liegt bei einer Kolo die Runde, was uns eine 2 als Basis liefert und damit ein
m = ln(2). (Das ist übrigens bei unserem diskreten Zeitmaß t € N ziemlich ätzend!)
Jetzt müssen wir noch konkrete Konstanten C1 und C2 finden. Das scheint einfach. Für die obere Schranke geht das fix mit der Anfangsbedingung von einer Basis. Dass
1 * 2 ^ t = 1 * exp (ln(2)*t) = 1 * exp (T) (C2=1;T=ln(2)*t)
eine ober Schranke bildet ist leicht. Höher kommt man ja nun wirklich nicht. Aber wehe mir, ich komme auf die Idee, irgendwann nicht mehr in allen Basen jede Runde ein Kolo zu zonken, sondern ab einem gewissen Zeitpunkt sagen wir 1-2% von denen zu benutzen um was anderes zu Basteln (Militär vielleicht). Selbst wenn man nicht jede Runde Militär baut - sobald man beliebig oft mal eine Runde total (oder mit einem bestimmten Prozentsatz) Militär einschieben will, ist nicht mal mehr Epsilon klein genug, um die untere Schranke permanent unter W'(t) zu drücken. Das ginge allerhöchstens, wenn ich jedesmal einen kleineren Anteil an Basen fürs Militär zur verfügung stelle, zum Beispiel indem ich die maximale Zahl dieser Basen beschränke.

Ein Beschränkung der Zahl der Basen müsste ich folgendermaßen abhandeln können:

Achtung Spoiler:

W'(t) > C1 * exp (ln(2) * t - t(1))
Dabei ist t(1) der Zeitpunkt, zu dem ich über diese von mir festgelegte Zahl Militärbasen + einer Zusätzlichen verfüge. Denn dann kann ich mit der einen Zusätzlichen einfach mit der vorgegebenen E-Funktion weiter wachsen - so wie es ideal vorgesehen ist. exp(-t(1)) kann ich jetzt als Konstante einfach herrausziehen, und in C1 einrechnen.
Das klappt natürlich nur, solange die Zahl der Militärbasen und damit t(1) beschränkt bleiben.

[Hagen0]

...Exponentialfunktion...

Jaja, du hast völlig Recht.