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Thema: Essay - Das Centauri Monopol - Eigenschaften des ICS

  1. #1
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    Essay - Das Centauri Monopol - Eigenschaften des ICS

    Okay, zunächst die Einleitung. Im folgenden ein Versuch eine interessante Diskussion, die ich mit Hagen per PM geführt habe und noch führe für andere nutzbar zu machen.
    Nebenbei hat das auch den Hintergund, das PMs begrenzt sind, und das hier wohl beim besten Willen nicht mehr in einer PM unter zu bringen ist.

    Ich werde erstmal nur meine aktuelle Antwort posten. Dazu alsbald die PMs (es sei denn Hagen hat was dagegen) und später versuche ich das ganze dann hier so abzuwandeln, dass es für jeden nachvollziehbar wird, auch ohne die PMs in der Reihenfolge zu lesen.

    Deswegen das Folgende im Spoiler. Es wird vorerst, das tut mir leid, ausschließlich von Hagen zu verstehen sein.

    Achtung Spoiler:
    Ich hab jetzt ne Nacht drüber geschlafen, weil die Mathematik wirklich faszinierend ist.
    Wir reden gerade über relativistische Phänomene in diskreten Raum-Zeit-gefügen - Z^n+1 , wobei die +1 die Dimension der Zeit darstellt (die ebenfalls nur auf Z existiert, genaugenommen sogar in N mit dem Anfang 2101). Das ist einfach nur geil.

    Zuerst einmal, deine Rechnung ist richtig.
    Aber sie geht nicht auf. Uns geht es tatsächlich ein wenig so, wie es wohl auch Einstein und seinen Zeitgenossen gegangen sein muss.

    Es ist so frappierend, dass ich garnicht weiss, wie ich anfangen soll. Die Beispiele, die wir bisher gewählt haben sind richtig übertragen einfach nur erstaunlich.

    Zunächst einmal - du bist Michelson und Morley. Du hast die Lichtgeschwindigkeit entdeckt (und den Äther nachgewiesen). Sie ist nicht c sondern k, die Reisegeschwindigkeit der Kolos. In deiner Rechnung war sie 1 Raumeinheit je 1 Zeiteinheit. Damit kannst du für jeden Punkt in unserem Z^n+1 so einen hübschen Ereigniskegel bilden, also Punkte definieren, von denen aus Kolos zum Zeitpunkt t-x diesen Punkt erreichen konnten, und solche Punkte zur Zeit t+x , die Kolos von diesem Punkt zum Zeitpunkt t aus erreichen können. In analogie zur Relativität sollten wir Punkte die in keinen dieser beiden Kegel fallen "Raumzeitartig getrennt" nennen.

    Das hast du getan. Und es ergibt sich das maximale Wachstum von 2k+1^n, nämlich das Wachstum der Grundfläche dieses Kegels mit der Zeit. Dieses Wachstum der Grundfläche bildet tatsächlich eine obere Schranke für das Wachstum des gesamten "Imperiums" und ist abhängig von der Dimension der Karte. Allerdings ist unsere Lichtgeschwindigkeit k längst nicht so fundamental wie die Lichtgeschwindigkeit c. Stichwort "Straßen".
    Darüber hinaus kann aber das Wachstum des Imperiums innerhalb des Kegels jede beliebige Form in folgendem Sinne annehmen:

    1. Diesen Kegel kann ich in beide Zeitrichtungen von [B]jedem[B] Punkt des Z^n+1 bilden. Und es gilt immer, dass es Felder gibt die nicht erreicht werden können. Mein Imperium kann zu jeder Zeit nur solche Punkte umfassen, deren Vergangenheitskegel wenigstens einen Punkt beinhaltet, andem ich eine Basis oder ein Kolo besessen habe.
    Wenn ich zu einem Zeitpunkt t alle Punkte betrachte, die eine Basis oder ein Kolo beinhalten, kann ich von diesen aus einen Zukunftskegel für mein ganzes Imperium bilden.
    Der eine obere Schranke darstellt.

    2. Betrachtet man als Größe des Imperiums nur die errichteten Basen und ignoriert die Kolos, so kann das "scheinbare" Wachstum die Grenzgeschwindigkeit von k durchaus überschreiten, das geht zeitlich begrenzt, maximal so lange bis der Vorrat an Kolos außerhalb des Imperiums aufgebraucht ist. Desweiteren sind viele Fälle denkbar in denen durch Basisverlust, Hindernisse oder sonstige Faktoren der Verlauf des Wachstums ganz individuell beeinflusst wird.


    Noch ein Hinweis - unsere Raumzeit hier Z^n+1 ist absolut. Bewegte Bezugssystem liefern eine veränderte Lichtgeschwindigkeit, so wie Michelson und Morley das ursprünglich f[r die reale Welt nachweisen wollten. Unser Koordinatensystem Z^n+1 kann als absolut ruhendes Bezugssystem (Äthersystem) angesehen werden. Es gibt damit keinerlei Zeitdiletation oder Längenkontraktion. Logisch.



    Wie geht es weiter ... die Wahl der anderen Konstante. Es gibt neben der "Lichtgeschwindigkeit" k eine weitere wichtige Konstante in unserem Beispiel. Das ist die Bauzeit der Kolos (im folgenden b). Du hast diese Konstante auf 0 gesetzt - einen unendlichen Kolonachschub angenommen. Und daraus die 2k+1^n Schranke nachgewiesen.

    Du hast aber auch das andere Grenzexperiment gemacht. k=unendlich und b=const. und >0.
    Das war das Beispiel mit den Abwurfmodulen mit unbegrenzter Reichweite. Eine alternative stellt eine Karte mit fertig gebauten Magnetröhren(in älteren Civs Eisenbahnen) dar.

    Das Ergebnis in diesem Fall war eine simple E-Funktion. Am simpelsten natürlich als Potenzfuntkion der Basis "2".


    Für reale Spiele gilt jetzt natürlich beides nicht. k ist nicht unendlich, und b ist nicht 0.
    Aber:


    Zu Beginn einer Partie gilt gewöhnlich

    "durchschnittliche Bauzeit für das nächste Kolo, nämlich b" >> "Zeit die das Kolo braucht, seinen Bestimmungsort zu erreichen"

    Also ist entweder der Weg "unerheblich", oder k "ziemlich groß". Da aber praktisch nur die Reisezeit interessiert, ist unerheblich was von beidem der Fall ist, und wir können so tun, als wäre die Lichtgeschwindigkeit k sehr sehr groß : k --> unendlich

    Das ist der Fall, in dem das Wachstum sich gut als E-Funktion beschreiben ließ.

    Wenn sich das Imperium vergrößert dann stehen immer mehr Kolos zur verfügung. Das entspricht einem kleiner werdenden b.
    Im Gegensatz dazu wird die Entfernung, die die Kolos zurück legen müssen immer größer.

    Irgendwann gilt dann eher b --> 0 und k ist irgendeine Konstante.

    Was ich ungefähr erwarte hab ich mal in ein Diagramm gebastelt.

    Die Y-Achse gibt die Zahl der Basen wieder, die X achse entspricht der Zeitachse.
    Eine Sache, ich bin von einer N^1+1 Karte ausgegangen, also keine negativen Zahlen. Daher ist es keine 2k+1 kurve sondern nur k+1. Ist natürlich qualitativ total egal.

    Ich hab hier bewusst Rechnungen weg gelassen, weil ich da irgendwas vermurkst habe.
    Interessant finde ich aber noch folgendes:
    Die Frage, wie lange das Wachstum als E-Funktion ansehen kann ist auch eine Frage nach der Dimension unseres Raumes.
    Wenn wir Anfangs annehmen, dass b irgendeine Konstante ist, und k -> unendlich geht, weil die wege so kurz sind, dann gilt das vermutlich wenigstens so lange, wie die Wege so kurz bleiben.
    Bei einer eindimensionalen Karte bekomme ich 2 Kolos unter, bevor der Weg aus meiner Ausgangsbasis länger als "1" wird.
    Auf einer Z^2 Karte sind es 8, auf einer Z^3 Karte schon 26 ([3^n] - 1). Das heißt die Dimension der Karte hat wohl einen Einfluss darauf wie lange ich das wachstum mit einer E-Funktion gut beschreiben kann.


    Um nochmal ein Beispiel aus einer der ersten PMs zu bemühen.
    Wir haben eine unendlich große Pfütze, die überall super Bedingungen für Kolibakterien bereitstellt. Wir setzen ein paar wenige irgendwo in die Pfütze.
    Wenn die sich jetzt vermehren, dann wandern die natürlich nicht an den Rand, sondern verdrängen benachbarte Kolibakterien, so welche da sind. Dadurch bewegen sich die Kolibakterien am Rand mit zunehmender Geschwindigkeit vom Zentrum fort. Am Anfang ist das Wachstum (Volumen des Zellhaufens) einfach eine E-Funktion. Aber wenn wir in der Analogie bleiben, dann wird der Zellhaufen so groß, dass die Verdrängungsgeschwindigkeit der äußeren Bakterien vergleichbar wird mit c!
    Da keine Bakterie schneller als mit c verdrängt werden kann muss also spätestens bei erreichen dieser Geschwindigkeit das Volumen des Zellhaufens nur noch mit der Dimension der Pfütze zunehmen, also in unserer Raumzeit kubisch! (vereinfachte Analogie mit den Kolos)


    Wer das nachrechnet wird auf seltsame Ergebnisse stoßen, die dem hier beschrieben Widersprechen. Das ist nicht zu vermeiden, weil natürlich für die Kolibakterien Zeit und Raum nicht mehr absolut sondern relativ sind. Ich gehe davon aus, dass eine Bakterie im Zentrum des Haufens eine Bakterie am Rand als kleiner ansieht als sich selbst (Längenkontraktion) und glauben wird, sie vermehre sich langsamer als sie selbst (Zeitdiletation).
    Das wachstum der E-Funktion wird also durch 2 Mechanismen beschnitten, die zusammen eine Erhöhung der Verdrängungsgeschwindigkeit über c hinaus nicht notwendig werden lassen.
    Die genaue Rechnung überlasse ich dem geneigten Leser als Übungsaufgabe.
    Angehängte Grafiken Angehängte Grafiken

  2. #2
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  3. #3
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Oje

    Ich sehe mir das heute Abend mal an. Jetzt geh ich erstmal zum Go.

  4. #4
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Wir verkraulen die letzten paar Besucher des Smac-Forums mit diesem Strang. Naja, was solls.

    Vorweg: Die Definitionen für exponentielles oder quadratisches Wachstum funktionieren nur für Grenzprozesse (in diesem Fall Zeit -> unendlich). Deshalb ist es unwichtig was für kleine Zeiten passiert. Natürlich hast du Recht, dass die Wachstumskurve dort "exponentiell aussieht". Aber so eine Aussage ist Physikerteufelszeug und aus rein mathematischer Sicht sinnlos.

    Wenn Du an der Frage interessiert bist: "Ist das Wachstum eine Fraktion/Zivilisation in Smac/Civ näherungsweise exponentiell?", dann könnte man zur Beantwortung derselben Testspiele mit leerer Karte (keine Gegner, kein Fungus) machen und eine geignete Kennzahl protokollieren (zB. die Forschungsleistung). Das ist natürlich ziemlich öde, aber mit reiner Theorie kommt man da eher nicht ran.

    Für Zeit->unendlich gilt:
    Solange die Kolo/Siedler-bewegung beschränkt bleibt, kann das Wachstum höchstens quadratisch sein. Wachstum der Städte ist auch egal, solange diese nur eine beschränkte Größe erreichen können. Ausnahmen bilden Mechanismen, die die Ausdehnung der Karte ignorieren, also Global Insertions und Magnetröhren. Beide führen zu echtem exponentiellen Wachstum. Die Magnetröhren müssen dazu nicht vorinstalliert sein. Es genügt, dass man Former/Bautrupps mit mehr als einem Bewegungspunkt hat. (Gibt es in Civ2/3 sowas?).

  5. #5
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    Die Definitionen gelten nur für unendliche Zeiträume?
    Dann ist es mir völlig gleichgültig, ob das Wachstum letztendlich exponentiell oder quadratisch oder auch negativ ist.

    Also echt sorry. Mich intressiert es nicht, ob es in 1.000.000 Runden am günstigsten ist (oder war) Kolos zu bauen (würde bei einem echten Mathematiker auch nix helfen, dann das ist ja nicht sonderlich weit im vorraus )
    Ich will doch nur abschätzen, was jetzt gerade am meißten Wachstum bringt.

    Wenn du allerdings so versessen auf unendliche Zeiträume bist, dann können wir uns die Frage "Ist das Wachstum eine Fraktion/Zivilisation in Smac/Civ näherungsweise exponentiell?" eigentlich sparen. Wenn die Karte voll ist (alle Basen gesetzt, alle Gebäude gebaut) ist schluss. Da kommt dann nix mehr.

    Ich ziehe im Moment grade den Schluss, dass es total egal ist, welchem Funktionstyp man das Wachstum annähern kann. Wichtig ist zuerst, dass die erste Ableitung zum Zeitpunkt "jetzt grade" so hoch wie möglich ist.

    Und wir können niemanden verkraulen, der nicht hier ist.
    Also kann es so schlimm nicht sein.

  6. #6
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Du hättest schon an meinen Beispielen sehen können, das diese Überlegungen mit realen Spielsituationen nichts zu tun haben. Wenn man an konkreten Aussagen interessiert ist, ob zB. Former oder Kolo besser ist, kommt man diesen Methoden nicht weit. Das muss man wohl ausprobieren oder irgendwie simulieren.

    Ich habe sehr oft gelesen, dass die Entwicklung einer Zivilisation in Civ exponentiell ist und mich hat interessiert, ob das stimmt. (Es scheint nicht der Fall zu sein.) Exponentielles Wachstum heißt, dass es Konstanten C1, C2, alpha1, alpha2 > 0 gibt, so dass für die Wachstumsfunktion W(t) gilt

    C(1)*exp(alpha1*t) < W(t) < C(2)*exp(alpha2*t) für alle t>0.

    Man sieht sofort, dass diese Def. auf kompakten Intervallen immer trivial erfüllt ist. Die Definition macht eine Aussage für t->unendlich. Das ist übrigens auch in der Informatik üblich, obwohl man dort natürlich auch endliche Problemgrößen hat. Übrigens, dass Karten nur begrenzte Größe haben, macht nichts. Das lässt sich umgehen.

  7. #7
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    Dem ist jetzt nicht viel hinzuzufügen.
    Ach doch, in Civ 2 gibts Ingis, die haben 2 Bewegung und lassen damit auf unendlich großen Kontinenten exponentielles Wachstum zu.

    Wie umgehst du die endliche Kartengröße?

  8. #8
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Das ist ein bisschen technisch. Im Prinzip läuft es darauf hinaus, dass man Karten betrachtet die endlich aber beliebig groß sein können. Wichtig ist dabei, dass die Konstanten in der Definition, C und alpha, von der Karte unabhängig sind.

    Achtung Spoiler:

    Man passt die Definition an und lässt Karten mit endlicher aber wachsender Größe zu. Die Wachstumsfunktion ist dann von der Karte abhängig: W(t, K). Nun definiert man sich eine Folge von Karten K_n mit monoton wachsender Größe, wobei K_i immer eine Teilkarte von K_{i+1} ist. Wenn man ein bisschen dran dreht, bekommt man dann für die Wachstumsfunktion die Aussage W(t,K_i) = W(t,K_{i+1}) für t<t_i mit einem t_i, das von K_i abhängt und t_i->unendlich. Auf diese Weise hat man dann wieder eine kartenunabhängige Wachstumsfunktion W(t).

    Exponentielles Wachstum heißt dann, dass es Konstanten C1, C2, alpha1, alpha2 > 0 gibt, so dass für jedes t>0 ein i=i(t) existiert so, dass

    C1*exp(alpha1*t) < W(t,K_i) < C2*exp(alpha2*t).

    Dabei muss K_i einfach hinreichend groß gewählt werden, dass C2*exp(alpha2*t) noch "hineinpasst".

    Das ist natürlich nur ein Trick. Dennoch kann man die Bedingung mit auf endlichen Karten überprüfen. Angenommen man hätte eine Wachstumsfunktion W(t) und Kandidaten für C und alpha. Dann wählt man sich ein beliebiges t>0 und berechet i und K_i in Abhängigkeit von t. Falls W(t) die Bedingung erfüllt, muss es die Bedingung immer erfüllen, da t beliebig war.

  9. #9
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    Beim 2. Mal lesen hab ichs gecheckt. Diese Art sich um unendlich zu drücken hat mich schon immer fasziniert.... naja.

    Mal ein paar Fragen zur Eindeutigkeit
    Ich habe ja ein Kriterium, für das ich diese ulkige Wachstumsfunktion W(t) bestimme, also zum Beispiel der Output an Labors. Ich könnte aber auch irgendwas anderes nehmen (ich halte die Laborleistung sowieso nicht für sonderlich sinnvoll). Anzahl der Basen, Mieralienertrag, Energieertrag, Anzahl der Roverformer (für die Magnetröhren) - was auch immer; sogar eine Linearkombination aus solchen Sachen, oder gleich ne Vektorfunktion kann ich mir vorstellen.

    Nehmen wir an ich habe eine W_Labors(t) die nach deinem Kriterium exponentiell wächst. Unter welchen Bedingungen könnte ich eine Aussage über W_Energie(t) machen?
    Gibt es Klassen von Wachstumsfunktionen, die dann immer exponentiell wachsen, wenn auch nur eine aus der Klasse exponentiell wächst? (das die Antwort ja heißen muss ist mir klar, aber darum frag ich nicht )
    Kann man, wenn man eine Wachstumsfunktion hat, die exponentiell wächst noch welche finden, für die das nicht gilt? (Außer die triviale W(t)=0, die sich wohl immer finden lässt, wenn man irgendwas betrachtet, was es in dem Fall nicht gibt)

    Wenn wir eine reine ICS annehmen, dann wäre sicherlich die militärische Stärke nicht exponentiell wachsend. Da in dem Fall aber gilt W-militär(t) = 0 für alle t (fürs Kolobauen brauch ich keine Truppen), ist das ja nicht sonderlich sinnvoll.

  10. #10
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Stimmt. Anzahl der Städte ist wohl das geeignete Maß. Intuitiv würde ich sagen, die Mineralienproduktion und Nahrungsproduktion muss im selben Maße wachsen, wie die Basenanzahl.

    Von der Forschungsleitung lässt sich nicht auf die Energie schließen oder umgekehrt. Grundsätzlich können die Basen sowieso nur über Spezis forschen, da schon nach kurzer Zeit der Großteil so weit weg ist, dass alle gesammelte Energie verloren geht. Dann hängt es eben davon ab, welche Spezis man benutzt.

    Ich finde es schon interessant, wie die Entwicklung in einem normalen Spiel aussieht. Eventuell schreibe ich die Werte für Nahrung, Prod. und Energie im Pbem mit.

  11. #11
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    Wenn du die Korruption nicht rundest, sondern einfach als Bruch angibst, dann wäre es schon interessant, ob W_Labors(t) (bei konstanter Forschungsrate >0) exponentiell wächst, solange nur W_Basiszahl(t) exponentiell wächst. Ganz konkret mit den Formeln aus den Datalinks.

    Das wäre ja ein gutes Beispiel, wo die beiden W(t) alles andere als einfach nur linear zusammenhängen.

  12. #12
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Hm, die Ineffizienz ist linear von der Entfernung zum HQ abhängig. Wenn man das ohne Rundung betrachtet, wird die Energie in entfernten Basen negativ.

    Man kann aber einfach das HQ loswerden. Dann wird die Entfernung auf 16 festgeschrieben.

  13. #13
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    Aus einer deiner PMs, der Beweis für das Wachstum mit n-ter Potenz für n-dimensionale Karten:

    Zitat Zitat von Hagen0
    Angenommen wir haben eine Basis (im Smacschen Sinne) im Nullpunkt des R^n. Mögliche Basisstandorte sind alle ganzzahligen Vektoren des R^n, also alle Element von Z^n. Wir machen weiterhin die Annahmen, dass Kolos sich ein "Feld" pro Zeiteinheit bewegen können, dass Basisbau keine Zeit benötigt und Baukosten der Kolos 0 sind (es gibt also unendlich Nachschub an Kolos). Dann ist die maximale Basisanzahl zum Zeitpunkt k = (2k+1)^n. Wenn man die Annahmen (Kolobaukosten 0, instantane Basisbau) fallen lässt, ist das Wachstum nur noch langsamer, (2k+1)^n ist also eine obere Schranke. Dass es auch eine untere Schranke in O(k^n) gibt ist ebenso offensichtlich.

    qed
    Das sieht gut aus. Aber wenn ich genauer hinsehe, dann finde ich die untere Schranke O(k^n) überhaupt nicht mehr offensichtlich.
    Ein untere Schranke zu finden ist sicherlich kein Problem. Setze C(1) = 0 (siehe unten) -> trivial
    Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das im Sinne der Definition

    Zitat Zitat von HAgen
    C(1)*exp(alpha1*t) < W(t) < C(2)*exp(alpha2*t) für alle t>0.
    erlaubt ist. Dann könnte mann sich die untere Schranke schließlich sparen.

    Wenn ich jetzt als untere Schranke annehme, dass ausschließlich die Grenzbasen Kolos produzieren, und die anderen Basen irgend was anderes tun, weil die Kolos ja eh ewig unterwegs sind, dann würde ich im Z^n die Oberfläche der sich ausbreitenden Kugel für die Ausbreitung zuständig machen. Und die wächst nur mit Z^n-1... ist mir also eine Dimension zu klein.
    Wenn ich allerdings sage, ich nehme zum Kolobau alle Basen die weiter als die hälfte des Radius vom Zentrum entfernt sind, dann lasse ich ein Kugel(teil)volumen Kolos nachkarren. Das wächst möglicherweise mit Z^n, könnte also reichen.

    Desweiteren:
    Gehen wir wieder von einer quadratischen Karte aus.
    Nehmen wir an, dass ich in jeder Basis wenigstens ein Energie produziere, und es eine obere Schranke (eine Konstante) E für die Energie gibt, die ich in einer Basis produzieren kann. Außerdem kenne ich Konstanten C(1), C(2) und eine Funktion der Zahl meiner Basen zur Zeit t, W_Basiszahl(t) so dass gilt:

    C(1) * t² < W_Basiszahl(t) < C(2) * t² für alle t>0.
    (Ich hoffe mal, das ist die korrekte Def. für quadratisches Wachstum)

    Dann ist ziemlich offensichtlich

    C(1) * t² < W_Energie(t) < E * C(2) * t² für alle t>0. Und damit ist W_Energie(t) auch quadratisch.

    denn W_Energie(t) kann nicht kleiner sein als W_Basiszahl(t) und nicht größer als E * W_Basiszahl(t)
    Jetzt könnte ich mir überlegen, wass passiert, wenn ich mittels einer bestimmten Menge aufgewendeter Energie eine Basiseinrichtung erforschen kann, die die Energieausbeute in einer oder allen Basen erhöht.

    Ich habe bei der Übertragung offensichtlich schwierigkeiten, wenn neue Basen möglicherweise gar keine Energie produzieren. Dann finde ich keine untere Schranke mehr.
    Wenn E nicht konstant ist, sondern meinetwegen E = E(t,W_Basiszahl(t), .. was auch immer) dann finde ich möglicherweise keine obere Schranke mehr (nämlich wenn E(t) an unbeschränkt wächst, wo auch immer).

    Warum wäre das in letzterem Fall dann eigentlich kein quadratisches Wachstum? Ich könnte doch argumentieren, die untere Schranke wächst mindestens quadratisch mit t, also ist das Wachstum entweder quadratisch, oder sogar noch schneller...

  14. #14
    Heiliger Krieger Avatar von Hagen0
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    Die Randschicht wächst zwar linear aber das bedeutet, dass in jedem Schritt (konstante Zeit) eine linear wachsende Anzahl neuer Basen dazukommen. Die Gesamtanzahl der Basen wächst damit quadratisch.

    Zur Energieausbeute: Wenn man endlich oft Gebäude kaufen kann, die die Energieausbeute erhöhen, stört das nicht, denn die Gesamtenenergie einer Basis bleibt damit immernoch beschränkt mit einer neuen oberen Schranke

    E_neu = E*(1+Gesamtmultiplikator)

    Wenn es erlaubt ist, beliebig oft ein Gebäude zu kaufen (aber nicht öfter als einmal pro Runde), dass die Energieausbeute erhöht, kekommt man lineares Wachstum der Energie in dieser Basis (die Multiplikatoren werden addiert und nicht multipliziert). Insgesamt wächst der Energieertrag kubisch.
    Geändert von Hagen0 (19. Dezember 2011 um 19:55 Uhr)

  15. #15
    Ingenieur des Pharao Avatar von ComCitCat
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    Vergiss dass mit dem Rand. Ich habe irgendwie eine total krude Idee von "Rand" zugrunde gelegt - quasi ein infinitesimaler Rand, der es trotzdem schafft immer "dünner" zu werden. ... nicht drüber nachdenken ).

    Die Annahme einer endlichen Zahl von Multiplikatorgebäuden ist sinnfrei. In der Tat gibt es im Spiel nur eine begrenzte Anzahl, was ja auch daran liegt, dass der Techtree endlich ist...
    Genauso wie die Karte, und darüber haben wir uns ja auch hinweggesetzt - und das hatte seinen Grund. Nimm also an, es gäbe unendlich viele Multiplikatorgebäude in einem unendlich langen Techtree (oder ohne Techtree). Oder, weil dir das mehr liegen dürfte, wir benutzen eine unendliche Folge von endlichen Techtrees T(i) für die gilt T(i) ist Teil von T(i+1) ...

    Ich hatte schonmal die Idee geäußert, dass sich verschiedene Aspekte des Spiels die durch fortgeschrittene Technologien erschlossen werden wie eigene Dimensionen der Karte verhalten. Wenn wir uns auf die Energieausbeute beschränken (weil das einfacher zu rechnen ist), dann ist das so als hätte man jedesmal ein Multiplikatorgebäude, dass seinen Bonus nicht addiert, sondern wirklich multipliziert. Wir haben dann für jedes Multiplikatorgebäude eine "zusätzliche Dimension", die aber nicht unendlich groß ist, sondern nur die Länge "1" aufweist. Quasi, als könnte man in dieser Dimension nur ein zusätzliches Kolo unterbringen, bis "die Karte voll ist" / "man den Kartenrand erreicht hat".

    Wenn wir solche Gebäude (wie zum Beispiel das Syncrotron) beliebig oft zur verfügung haben (aber nur alle paar Runden, oder maximal jede Runde eins bauen können) ist leicht einzusehen, dass W_Energie(t) exponentiell wächst, selbst wenn wir nur mit einer einzigen Basis spielen. Aber wie sieht das aus, wenn wir diese Technologien erst erforschen müssen?
    Die Forschungskosten werden ja zum Beispiel immer höher. Wie wirkt sich das aus?

    Nehmen wir an wir können zeigen, dass unter bestimmten Bedingungen W_Energie(t) für JEDE Basis exponentiell wächst.
    W_Basiszahl(t) wächst quadratisch (apropos, kannst du mir die untere Schranke zeigen?)
    Was bedeutet dass dann für die Summe W_Energie(t) über alle Basen?

    Ist es möglich, dass die Energie schneller als Exponentiell zunimmt? Gibt es das? (Spontan würd ich sagen nein, denn wenn ich (c*t²) zu den einzelnen Gliedern der Tayloreihe einer E-Funktion hinzumultipliziere, dann bekomme ich etwas, dass im Grunde genauso aussieht wie eine E-Funktion, nur ohne die ersten beiden Glieder...)


    2 Aspekte zu der Idee zusätzlicher "Kartendimensionen" durch fortschrittliche Technologien.
    1. Militär lässt sich auf diese Weise unglaublich viel schwerer beschreiben, obwohl es einen integralen Bestandteil des Spiels ausmacht. Ich weiß nicht, wie man sich das vorstellen könnte.
    2. Es gibt Errungenschaften die sich ganz eindeutig nicht gut wie totale Multiplikatorgebäude einordnen lassen.
    Eine Beispiel sind die Magnetröhren, die ganz allein (aber nur im Verbund mit Roverformern ) in der Lage sind, das Wachstum der Basiszahl exponentiell zu gestalten.
    Ein anderes ist der Popboom. Der Popboom dürfte gar keinen Einfluss haben. Denn er bedeutet nur lineares Basiswachstum (der Größe, nicht der Anzahl), ungefähr so wie du das beschrieben hast
    (Basisgröße = B(0)(Anfangsgröße vor dem Boom) + ( 1 * Boomzeit ) -> ziemlich linear.
    Popboom alleine macht also keine E-Funktion, er ist noch nichtmal unbedingt eine qualitative Steigerung, weil Basen auch ohne den wachsen können (und wenn sie ihren Nahrungsoutput mit der Basisgröße Steigern, dann auch schneller als linear, bis sie die Obergrenze von +1 / Runde erreichthaben). Der Reiz des Popbooms liegt also nicht im größtmöglichen Wachstum einer E-Funktion, sondern darin, dass er dem linearen Wachstum einen unglaublich großen Koeffizienten verschafft, von dem man unter anderen Umständen nur träumen kann. (Normalerweise wächste eine Basis vielleicht so alle 5-10 Runden, je nachdem. Also ist die Basisgröße irgendwas wie B(t) = B(0) + x * t mit 0.1 < x < 0.2
    Beim Popboom wächst man jede Runde, also B(t) = (B(0) +1 * t )
    Geändert von ComCitCat (19. Dezember 2011 um 23:36 Uhr)

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