Ich hab jetzt ne Nacht drüber geschlafen, weil die Mathematik wirklich faszinierend ist.
Wir reden gerade über relativistische Phänomene in diskreten Raum-Zeit-gefügen - Z^n+1 , wobei die +1 die Dimension der Zeit darstellt (die ebenfalls nur auf Z existiert, genaugenommen sogar in N mit dem Anfang 2101). Das ist einfach nur geil.
Zuerst einmal, deine Rechnung ist richtig.
Aber sie geht nicht auf. Uns geht es tatsächlich ein wenig so, wie es wohl auch Einstein und seinen Zeitgenossen gegangen sein muss.
Es ist so frappierend, dass ich garnicht weiss, wie ich anfangen soll. Die Beispiele, die wir bisher gewählt haben sind richtig übertragen einfach nur erstaunlich.
Zunächst einmal - du bist Michelson und Morley. Du hast die Lichtgeschwindigkeit entdeckt (und den Äther nachgewiesen). Sie ist nicht c sondern k, die Reisegeschwindigkeit der Kolos. In deiner Rechnung war sie 1 Raumeinheit je 1 Zeiteinheit. Damit kannst du für jeden Punkt in unserem Z^n+1 so einen hübschen Ereigniskegel bilden, also Punkte definieren, von denen aus Kolos zum Zeitpunkt t-x diesen Punkt erreichen konnten, und solche Punkte zur Zeit t+x , die Kolos von diesem Punkt zum Zeitpunkt t aus erreichen können. In analogie zur Relativität sollten wir Punkte die in keinen dieser beiden Kegel fallen "Raumzeitartig getrennt" nennen.
Das hast du getan. Und es ergibt sich das maximale Wachstum von 2k+1^n, nämlich das Wachstum der Grundfläche dieses Kegels mit der Zeit. Dieses Wachstum der Grundfläche bildet tatsächlich eine obere Schranke für das Wachstum des gesamten "Imperiums" und ist abhängig von der Dimension der Karte. Allerdings ist unsere Lichtgeschwindigkeit k längst nicht so fundamental wie die Lichtgeschwindigkeit c. Stichwort "Straßen".
Darüber hinaus kann aber das Wachstum des Imperiums innerhalb des Kegels jede beliebige Form in folgendem Sinne annehmen:
1. Diesen Kegel kann ich in beide Zeitrichtungen von [B]jedem[B] Punkt des Z^n+1 bilden. Und es gilt immer, dass es Felder gibt die nicht erreicht werden können. Mein Imperium kann zu jeder Zeit nur solche Punkte umfassen, deren Vergangenheitskegel wenigstens einen Punkt beinhaltet, andem ich eine Basis oder ein Kolo besessen habe.
Wenn ich zu einem Zeitpunkt t alle Punkte betrachte, die eine Basis oder ein Kolo beinhalten, kann ich von diesen aus einen Zukunftskegel für mein
ganzes Imperium bilden.
Der eine obere Schranke darstellt.
2. Betrachtet man als Größe des Imperiums nur die errichteten Basen und ignoriert die Kolos, so kann das "scheinbare" Wachstum die Grenzgeschwindigkeit von k durchaus überschreiten, das geht zeitlich begrenzt, maximal so lange bis der Vorrat an Kolos außerhalb des Imperiums aufgebraucht ist. Desweiteren sind viele Fälle denkbar in denen durch Basisverlust, Hindernisse oder sonstige Faktoren der Verlauf des Wachstums ganz individuell beeinflusst wird.
Noch ein Hinweis - unsere Raumzeit hier Z^n+1 ist absolut. Bewegte Bezugssystem liefern eine veränderte Lichtgeschwindigkeit, so wie Michelson und Morley das ursprünglich f[r die reale Welt nachweisen wollten. Unser Koordinatensystem Z^n+1 kann als absolut ruhendes Bezugssystem (Äthersystem) angesehen werden. Es gibt damit keinerlei Zeitdiletation oder Längenkontraktion. Logisch.
Wie geht es weiter ... die Wahl der anderen Konstante. Es gibt neben der "Lichtgeschwindigkeit" k eine weitere wichtige Konstante in unserem Beispiel. Das ist die Bauzeit der Kolos (im folgenden b). Du hast diese Konstante auf 0 gesetzt - einen unendlichen Kolonachschub angenommen. Und daraus die 2k+1^n Schranke nachgewiesen.
Du hast aber auch das andere Grenzexperiment gemacht. k=unendlich und b=const. und >0.
Das war das Beispiel mit den Abwurfmodulen mit unbegrenzter Reichweite. Eine alternative stellt eine Karte mit fertig gebauten Magnetröhren(in älteren Civs Eisenbahnen) dar.
Das Ergebnis in diesem Fall war eine simple E-Funktion. Am simpelsten natürlich als Potenzfuntkion der Basis "2".
Für reale Spiele gilt jetzt natürlich beides nicht. k ist nicht unendlich, und b ist nicht 0.
Aber:
Zu Beginn einer Partie gilt gewöhnlich
"durchschnittliche Bauzeit für das nächste Kolo, nämlich b" >> "Zeit die das Kolo braucht, seinen Bestimmungsort zu erreichen"
Also ist entweder der Weg "unerheblich", oder k "ziemlich groß". Da aber praktisch nur die Reisezeit interessiert, ist unerheblich was von beidem der Fall ist, und wir können so tun, als wäre die Lichtgeschwindigkeit k sehr sehr groß : k --> unendlich
Das ist der Fall, in dem das Wachstum sich gut als E-Funktion beschreiben ließ.
Wenn sich das Imperium vergrößert dann stehen immer mehr Kolos zur verfügung. Das entspricht einem kleiner werdenden b.
Im Gegensatz dazu wird die Entfernung, die die Kolos zurück legen müssen immer größer.
Irgendwann gilt dann eher b --> 0 und k ist irgendeine Konstante.
Was ich ungefähr erwarte hab ich mal in ein Diagramm gebastelt.
Die Y-Achse gibt die Zahl der Basen wieder, die X achse entspricht der Zeitachse.
Eine Sache, ich bin von einer N^1+1 Karte ausgegangen, also keine negativen Zahlen. Daher ist es keine 2k+1 kurve sondern nur k+1. Ist natürlich qualitativ total egal.
Ich hab hier bewusst Rechnungen weg gelassen, weil ich da irgendwas vermurkst habe.
Interessant finde ich aber noch folgendes:
Die Frage, wie lange das Wachstum als E-Funktion ansehen kann ist auch eine Frage nach der Dimension unseres Raumes.
Wenn wir Anfangs annehmen, dass b irgendeine Konstante ist, und k -> unendlich geht, weil die wege so kurz sind, dann gilt das vermutlich wenigstens so lange, wie die Wege so kurz bleiben.
Bei einer eindimensionalen Karte bekomme ich 2 Kolos unter, bevor der Weg aus meiner Ausgangsbasis länger als "1" wird.
Auf einer Z^2 Karte sind es 8, auf einer Z^3 Karte schon 26 ([3^n] - 1). Das heißt die Dimension der Karte hat wohl einen Einfluss darauf wie lange ich das wachstum mit einer E-Funktion gut beschreiben kann.
Um nochmal ein Beispiel aus einer der ersten PMs zu bemühen.
Wir haben eine unendlich große Pfütze, die überall super Bedingungen für Kolibakterien bereitstellt. Wir setzen ein paar wenige irgendwo in die Pfütze.
Wenn die sich jetzt vermehren, dann wandern die natürlich nicht an den Rand, sondern
verdrängen benachbarte Kolibakterien, so welche da sind. Dadurch bewegen sich die Kolibakterien am Rand mit zunehmender Geschwindigkeit vom Zentrum fort. Am Anfang ist das Wachstum (Volumen des Zellhaufens) einfach eine E-Funktion. Aber wenn wir in der Analogie bleiben, dann wird der Zellhaufen so groß, dass die Verdrängungsgeschwindigkeit der äußeren Bakterien vergleichbar wird mit c!
Da keine Bakterie schneller als mit c verdrängt werden kann muss also spätestens bei erreichen dieser Geschwindigkeit das Volumen des Zellhaufens nur noch mit der Dimension der Pfütze zunehmen, also in unserer Raumzeit kubisch! (vereinfachte Analogie mit den Kolos)
Wer das nachrechnet wird auf seltsame Ergebnisse stoßen, die dem hier beschrieben Widersprechen. Das ist nicht zu vermeiden, weil natürlich für die Kolibakterien Zeit und Raum nicht mehr absolut sondern relativ sind. Ich gehe davon aus, dass eine Bakterie im Zentrum des Haufens eine Bakterie am Rand als
kleiner ansieht als sich selbst (Längenkontraktion) und glauben wird, sie
vermehre sich langsamer als sie selbst (Zeitdiletation).
Das wachstum der E-Funktion wird also durch 2 Mechanismen beschnitten, die zusammen eine Erhöhung der Verdrängungsgeschwindigkeit über c hinaus nicht notwendig werden lassen.
Die genaue Rechnung überlasse ich dem geneigten Leser als Übungsaufgabe.