Soll das in der inneren Summe ein p^j sein?Zitat von Mongke Khan
Hat jemand von euch zufällig Ahnung, wie der Grenzwert einer solchen Reihe aussieht (k -> infty):
[math]\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i} \sum_{j=0}^{i}p^i[/math]
für 0 < p < 1. Ich bin mir experimentell sicher, dass das konvergiert und erkenne in der inneren Summe auch die geometrische Reihe wieder, aber Ana 1 ist doch schon eine gaaanze Weile her
- Life of Brian 1979Ich bin Brian und meine Frau ist auch Brian!
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Also Lösung von Wolfram.Hat jemand von euch zufällig Ahnung, wie der Grenzwert einer solchen Reihe aussieht (k -> infty):
[math]\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i} \sum_{j=0}^{i}p^i[/math]
für 0 < p < 1. Ich bin mir experimentell sicher, dass das konvergiert und erkenne in der inneren Summe auch die geometrische Reihe wieder, aber Ana 1 ist doch schon eine gaaanze Weile her
Wobei ich jetzt vermute, dass du am Weg und nicht nur an der Lösung interessiert bist?
Edit: Link korrigiert.
[math]1/(-1+p^3)^2[/math]
Verstand op nul, frituur op 180.
ja, sollte hoch j sein natürlich
Weg wäre ideal, an WA hatte ich gar nicht gedacht. Ich guck mal, ob das passt - die Klammern sehen tatsächlich merkwürdig aus.
Hab den Link aktualisiert, sollte jetzt passen.
Sei
[math]s_k := \sum_{i=0}^{k-1} p^{2i} \sum_{j=0}^{i}p^j.[/math]
Zunächst einmal gilt (siehe Wikipedia)
[math]\sum_{j=0}^{i}p^j = \frac{1-p^{i+1}}{1-p}[/math]
für alle [math]i \ge 0[/math] . Somit ist
[math](1) \qquad s_k = \sum_{i=0}^{k-1} p^{2i} \frac{1-p^{i+1}}{1-p} = \frac{1}{1-p} \sum_{i=0}^{k-1} (p^{2i} - p^{3i+1}). [/math]
Wegen [math]0 < p^2 < 1[/math] und [math]0 < p^3 < 1[/math] stehen auf der rechten Seite geometrische Reihen:
[math]\sum_{i=0}^{k-1} p^{2i} = \sum_{i=0}^{k-1} (p^2)^i \rightarrow \frac{1}{1-p^2},[/math]
[math]\sum_{i=0}^{k-1} p^{3i+1} = p \sum_{i=0}^{k-1} (p^3)^i \rightarrow p \frac{1}{1-p^3}.[/math]
Da diese beiden Summen konvergieren, können wir die Reihe [math]\sum_{i=0}^{k-1} (p^{2i} - p^{3i+1})[/math] auseinanderziehen und erhalten:
[math]\sum_{i=0}^{k-1} (p^{2i} - p^{3i+1}) = \sum_{i=0}^{k-1} p^{2i} - \sum_{i=0}^{k-1} p^{3i+1} \rightarrow \frac{1}{1-p^2} - \frac{p}{1-p^3}.[/math]
Durch standardmäßiges Erweitern sieht man:
[math]\frac{1}{1-p^2} - \frac{p}{1-p^3} = \frac{1-p^3}{(1-p^2)(1-p^3)} - \frac{p(1-p^2)}{(1-p^2)(1-p^3)} [/math]
[math]= \frac{1-p^3 - p + p^3}{(1-p^2)(1-p^3)} = \frac{1-p}{(1-p^2)(1-p^3)}.[/math]
Unter Verwendung von (1) folgt, dass [math]s_k[/math] gegen
[math]\frac{1}{1-p} \frac{1-p}{(1-p^2)(1-p^3)} = \frac{1}{(1-p^2)(1-p^3)}[/math]
konvergiert. Dies entspricht dem Ergebnis von Wolfram, da [math](1-p^2)(1-p^3) = 1 - p^3 - p^2 + p^5[/math] .
"Only Germans, perhaps, could make a game about economics - a stylish, intelligent and captivating one at that." - The New York Times
Super, danke! Dass es für die geometrische Reihe diese endliche Form gibt, hatte ich vergessen
Es passt auch perfekt zu den experimentellen Beobachtungen
Der Standardtrick bei geometrischen Reihen ist sie mit (1-p)/(1-p) durchzumultiplizieren und dann die Summe mit dem Zähler auszumultiplizieren. Dabei fliegen fast alle Terme raus.
Für den inneren Term bekommt man
[math]\frac{p-1}{p-1}\sum_{j=0}^{i}p^j = \frac{1}{p-1} (p^{i+1} - 1)[/math] .
Die äußere Summe geht genauso mit etwas Rumtricksen:
[math]\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i} \sum_{j=0}^{i}p^j = \frac{1}{p-1}\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i} (p^{i+1} - 1) = \frac{1}{p-1}\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i} * p^{i+1} - \frac{1}{p-1}\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i}[/math]
Der erste Teil: (Der Trick ist, dass man (1 - p^3)/(1 - p^3) verwendet statt dem Faktor oben, wegen p^3*i = (p^3)^i )
[math]\frac{1}{p-1}\sum_{i=0}^{k-1} p^{2*i} * p^{i+1} = \frac{p}{p-1}\sum_{i=0}^{k-1} p^{3*i} = \frac{p(p^{3k} - 1)}{(p-1)(p^3-1)} [/math]
Die andere Summe geht genauso mit (1 - p^2)/(1 - p^2). Zum Ausrechenen und Vereinfachen bin ich zu faul.
Geändert von Hagen0 (29. Juli 2022 um 21:17 Uhr)
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Vielleicht kann mir jemand von euch helfen. Meine Matheskills sind komplett eingerostet.
Würdet ihr als Kunde von Vattenfall ab März eher einen Vertrag mit einer Laufzeit von 12 oder 24 Monaten (inklusive Preisgarantie) abschließen?
Ich frage für einen Freund.Edit: Nicht richtig gelesen, mein Beitrag kann ignoriert werden.
Aber ich würde wohl 12 Monate nehmen.Es geht um einen neuen Stromvertrag.
Nach meiner Berechnung würde ich mit den alten, neuen Vertrag 1051,26€ über 24 Monate inklusive Festpreisbremse zahlen. (13,90 €/Monat; 39,87 Cent/kWh)
Sollte ich innerhalb Vattenfalls den Tarif wechseln, würde der neue Vertrag 1084,86€ über 24 Monate inklusive Treuebonus (30€) und Festpreisbremse kosten. (Da merkt man direkt, was der Treuebonus für eine Verarschung ist) (14,00 €/Monat; 43,27 Cent/kWh)
Die dritte Variante wäre ein Vertrag über 12 Monate für 564,13€ inklusive Treuebonus (20€) und Festpreisbreme. (13,90 €/Monat; 46,37 Cent/kWh)
Wie realistisch wäre ein Preisnachlass im Jahr 2024?
Soweit komme ich noch mit, dass der neue Vertrag weniger als 487,13€ im Jahr kosten darf, aber wie drückt sich dies in Grund- und Verbrauchspreis aus? Als Maßstab, mein jetziger Vertrag kostet 11,45 €/Monat und 28,47 Cent/kWh.
Was wäre der niedrigste Wert hinsichtlich Grund- und Verbrauchspreis, der nicht die 487,13€ übersteigen darf? Ist es nachvollziehbar, was ich meine?
Das ist unklar. Ich würde an deiner Stelle für 2024 wohl mit 40 cent je kWh rechnen. Es kann zwar auch weniger werden, aber hast du den Mut, darauf zu spekulieren? Teurer kann es ja auch werden.
Was verlangt der Grundversorger? Wenn du nichts besseres findest, als die 24 Monate zu 13,90 €/Monat und 39,87 Cent/kWh, dann bleibe doch einfach dabei.
Ab Februar 41,96 Cent/kWh und 11,65 Euro/Monat.
Tja, Vattenfall ist in Hamburg mit Abstand am billigsten. Dann bleibe ich wohl beim alten, neuen Vertrag.
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