Brauch wieder mathe hilfe :(

[EpicFail]

Ne, ich habe dich erfolgreich auf die falsche Fährte gebracht?! Glaube ich muss mich da korrigieren. Man kann es doch folgendermaßen abschätzen?!
Sei y>0
y³/(x²+y²) = 1/ (x²/y³ + 1/y) <= 1/(0 + 1/y) = y

Und für y<0 erhält man eine Abschätzung nach unten.
Für den Betrag der Funktion erhält man also |f(x,y)| < |y| und damit für alle Folgen mit y_n -> 0 die Konvergenz.

Also nur damit ich das richtig verstehe, ich darf statt f(a_n) - f(x₀) = 0 auch den Betrag davon betrachten? Das würde das ganze natürlich einfacher machen. Das hat zumindest auch unser Prof in der Vorlesung gemacht, davon steht aber nichts im Skript, deshalb habe ich das nicht gemacht, weil mir nicht klar war, wann oder warum ich das machen darf.

[Flunky]

Statt Betrag kannst du auch die Fallunterscheidung betrachten. Schreibs dir mal detailliert auf mit
|y| = -1*y für (y<0) und = y für (y>0)
Im Umkehrschluss ist
y = -1*|y| für (y<0)

[EpicFail]

Also heute geht es darum, auf einer nicht-offenen Menge Extrema zu finden (s.Aufgabe), das Minimum war dabei mit der 'normalen' Methode zu finden, also Gradient null setzen und dann die Eigenwerte der HesseMatrix betrachten. Nur beim Maximum geht das nicht, da die Funktion auf R^2 keins hat und daher diese Methode nicht funktioniert. Die Lagrange Methode hilft mir hier auch nicht wirklich weiter (also meine Nebenbedinung wäre x^2 + y^2 = a^2 wobei a zwischen 0 und Wurzel 2 liegt) bzw. ist das entstehende Gleichungssystem so hässlich, dass ich nicht glaube, dass wir das lösen sollen Den Hinweis verstehe ich allerdings nicht so ganz, ich hab das jetzt so interpretiert, dass man sich quasi nur die vier Ränder anschaut, also quasi die dann eindimensionalen Funktionen für x,0; x,1; 0,y; 1,y. Allerdings sind, weil die quadratischen Anteile beide positiv sind die zweiten Ableitungen auch wieder nur positiv, was mich ja nicht auf ein Maximum bringt.

[Setcab]

Mehrdimensionale Funktionen sind für mich eine Weile her, aber könnte es nicht einfach einer der Eckpunkte sein, also (0,0), (0,1), (1,0) oder (1,1)?

[EpicFail]

Das könnte natürlich sein, aber das einfach zu behaupten wäre natürlich nicht sehr mathematisch
Also da die Funktion ja offensichtlich kein Maximum hat, muss es ja eigentlich ein Randpunkt sein, weil sie ja scheinbar monoton wächst, aber wo der genau ist, ist halt die Frage.

[Ramkhamhaeng]

Der Rand deiner eindimensionalen Funktionen auf dem Rand des Qudrates sind ja gerade die Eckpunkte.

[EpicFail]

Also meinst du damit, da es auf dem Rand selbst auch kein Maximum gibt, muss es eine der Ecken sein? Würde natürlich Sinn machen

[Ramkhamhaeng]

Ja, aber deine Formulierung („da es auf dem Rand selbst kein Maximum gibt“) musst du noch anpassen, weil die Ecken ja auch zum Rand des Qudrates gehören.

[EpicFail]

Alles klar, vielen Dank

[Gullix]

...also, ich habe eine Funktion von zwei Variablen. Der analytische Ausdruck ist eher hässlich. Wie berechne ich am einfachsten eine Niveaulinie?

[Ramkhamhaeng]

Für eine Numerische Approximation könntest du versuchen dich orthogonal zum Gradienten zu bewegen.

Bei kleiner Schrittweite sollte man orthogonal zum Gradienten wieder nahe dem gesuchten Niveaus laden. Von dort könnte man sich dann wieder per Nullstellensuche weiter dem Niveau annähern.


Edit: Gibt aber auch bei Matlab Funktionen/Solver, um Niveaulinien zu bestimmen, falls das für dich eine Option ist.

[Gullix]

...also, danke


Habe da heute länger mit einem Freund herumprobiert. Senkrecht zum Gradienten stimmt natürlich und taugt auch halbwegs, kleine Schrittweite und wiederfinden. Analytisch kann man noch sagen, wenn P(x,y) glatt ist, gilt für eine Niveaulinie y(x) die gewöhnliche DGL

[math]\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial P}{\partial x}}{\frac{\partial P}{\partial y}}[/math]

(folgt aus der Kettenregel)
und wenn der Nenner Null ist, geht die Niveaulinie halt senkrecht und man kann in dem Bereich mit der analogen Gleichung für x(y) arbeiten.


Ich habs dann aber anders gelöst, weil ich noch ein paar mehr Sachen über P wusste. (dass es überhaupt für jedes y nur ein x auf der Niveaulinie gibt). In Python:

from scipy.optimize import fsolve

#Funktion P
def P_func(x,y):
   #langer Term

#partielle Ableitung dP/dy
def dPdy(x,y):
    #noch laengerer Term

#liefert zu einem Niveau P und einer Stelle x ein y, so dass P(x,y) gleich dem übergebenen P ist
def y_isoP(P,x):
   return fsolve(lambda y: P - P_func(x,y), 0.5*(rhoc-x), fprime=lambda y: -dPdy(x,y))

Geht an eine Stelle x. 0.5*(rhoc-x) ist ein Startwert, das Definitionsgebiet ist ein bisschen komisch geformt und das liegt immer drin. Es wird eine Nullstelle von P-P_func gesucht, das ist ja gerade das y was gesucht ist. Das fprime-Argument ist optional, Solver freuen sich wenn man ihnen Ableitungen der Gleichungen gibt.

[EpicFail]

Also welche Programme verwendet ihr, um Graphen zu plotten? Unsere Uni stellt uns theoretisch MatLab zur Verfügung, aber das ist ein bürokratisch 'komplizierter' Akt und daher weiß ich nicht ob das was wird Da ich als armer Student natürlich kein Geld ausgeben will: Was könnt ihr mir sonst empfehlen? Ist meine beste Option, das Ganze in python zu lernen? Das sah auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert aus

[Ramkhamhaeng]

Oh, da gibt es viele unterschiedliche Varianten. Der Klassiker schlechthin ist natürlich GnuPlot, wo du dich aber erst Einlesen musst. Die Graphen in den Defaulteinstellungen sehen recht altbacken aus, aber man kann das auch so konfigurieren, dass die Auflösung/Darstellung modern ist. (Außerdem find ich es seriöser als das Bling-Bling-Zeug mit 3D-Effekten oder Schattenwurf.)

GnuPlots Stärken kommen dann beim Skripting zum Tragen. Man kann den Prozess der Ploterzeugung automatisieren, so dass dann gleich ein neues Bild herausfällt, wenn man was neu berechnet hat. Bringt dir nat. nichts, wenn du nur einmal ein Bild brauchst...

Es gibt heutzutage schöne Javascript-Libraries die das Plotting in den Browser verlegen. Da kann man dann (wahrscheinlich) schön drin herumklicken.

Matlab ist ne schöne Variante, die du unbedingt ausprobieren solltest. Es hat auch schöne Export-Methoden gen Latex (*.fig-Format ?!)
Matlab kannst du aus der Uni wahrscheinlich sogar über zwei Varianten nutzen. Die „komplizierte“ Variante, aber nach der Einrichtung entspannt nutzbare, ist die Konfiguration mit dem Lizenz-Keyserver der Uni. Du nutzt dann sozusagen die Lizenz der Uni mit, musst deiner lokalen Matlab-Installation aber sagen, wie es den Server kontaktieren kann.
Die Quick&Dirty-Variante ist nen SSH-X11-Forwarding von Matlab aus der Uni (wenn das auf dem verwendeten SSH-Server erlaubt ist. (Sprich du loggst dich per ssh -X [blabla] ein und startest Matlab. Das Fenster wird dann bei dir lokal angezeigt während das Programm in der Uni läuft.

Bei Python zum wissenschaftlichen Arbeiten kenne ich mich nicht so aus, aber weiß zumindest dass es sich in den letzten Jahren stark verbreitet hat :grubel: Da weiß vllt. ein anderer mehr.

[Gigaz]

Python ist zum Plotten sehr mächtig. Eine weitere Alternative ist Gnuplot.